Teorija kaosa i ljepota fraktala

This is the HTML version on my article recently published in NeT,1997;16:68-71.

Also available at URL: http://www.net.hr/net_16/teorija.html


Teorija kaosa i ljepota fraktala

Piše: Dr.sc. Zdenko Franić
franic@imi.hr

Što je zajedničko Saturnovim prstenovima, burzovnim predviđanjima, organizaciji Interneta i izborima?

Prema istraživanju tvrtke Matrix Information and Directory Services (MIDS), podaci o veličini Interneta upravo su zapanjujući (<http://www3.mids.org/mn/701/pr9701.html>), te se postavlja pitanja ne postaje li Internet kao žrtva vlastitog uspjeha pomalo kaotičan? Rezultat pretrage polovicom travnja 1997. za ključne riječi "chaos theory" je čak oko 42000 informacija na HotBotu <http://www.HotBot.com>. To svjedoči o zaista izuzetnom zanimanju Internetovske populacije za ovo područje znanosti (neki ga smatraju poljem fizike), koja proučava kompleksne dinamičke sustave.

Jurski Park
Šira se javnost s teorijom kaosa prvi puta susrela u filmu Jurrasic Park (scenarij se može naći na <http://thewebshop.netgate.net/crichton/jp.html>) snimljenom prema sjajnoj knjizi Michaela Chrichtona, pisca mnogih znanstveno-fantastičnih djela. Priča je to o parku kojeg je osmislio i financirao ekscentrični bogataš, a nastanjenog dinosaurima iz Jure (<http://uslink.net/~warrior/graphics.html>) i <http://www.acm.uiuc.edu:81//Time/Gifs/JurassicPark/>) koji su uskrsnuti genetičkim inžinjeringom. U ovoj izuzetno zanimljivoj priči, znanstvena potka kojom se objašnjava nestabilnost, i konačna propast parka, jest teorija kaosa. Crichtonov lik iz Jurskog parka, ekscentrični Ian Malcom, <http://uslink.net/~warrior/p-ian.jpg>, osim što se voli oblačiti u crno izvrstan je matematičar te je složeni sustav Jurskog parka prikazao faznim prostorom koji izgleda poput čudno iskrivljene brodske elipse. Sam je termina kaos, kasnih 1970.-tih godina u područje nelinearne dinamike uveo profesor James Yorke, matematičar na Sveučilištu u Maryland. Termin "kaos" može dovesti do zabune ako ga se tumači kao "nedostatak reda" odnosno "neorganizacijom".

Što je kaotični sustav?
Razliku između uređenog i kaotičnog sustava možete vizualizirati promatrajući dim iz cigarete. Prvobitno dim se diže ravno uvis (laminarno gibanje), što se dvadesetak centimetara više pretvara u turbulentno gibanje. Drugi je primjer sustav dvaju tijela koja kruže jedno oko drugoga pod djelovanjem gravitacijske sile. Stoga je i cijeli Sunčev sustav kaotičan, a najljepše je to vidljivo na primjeru

Beautiful Fractal


Saturnovih prstenova <http://bang.lanl.gov/solarsys/saturn.htm>. Kaotični sustav odlikuje se lokalnom nestabilnošću i globalnom stabilnošću. Temeljno pitanje jest kako otkriti koji je od mnogobrojnih mogućih mehanizama uzrokovao sadašnje kaotično stanje sustava, odnosno pronaći skriveni red u očitom kaosu. Matematičar Malcolm u Jurskom parku, objašnjava: ...kap vode na nadlaktici. Ona će skliznuti s nje. Možda će kliznuti prema zapešću. Možda će skrenuti prema palcu, ili pak između prstiju. Ne znam sigurno kamo, će, ali će kliznuti nekamo na površini moje ruke. Mora. Iz ovog primjera slijedi ne-tehnička definicija kaotičnog sustava kao onog sustava u kojem i najmanja promjena može dovesti do ogromnog efekta. Matematički aparat potreban za proučavanje kaotičnih sustava počeli su razvijati relativno nedavno fizičari bivšeg SSSR-a. Jedna od posljedica pada komunizma bila je tako i dostupnost njihovih radova (između ostalog i preko Interneta!), te se danas kaotični sustavi ekstenzivno proučavaju eksperimentalno i teorijski. Više o kaotičnim sustavima i teoriji kaosa, kao i obično daju FAQ arhive. Svakako treba pogledati sci.nonlinear FAQ (zadnja prepravka iz travnja 1997.) na <http://amath.colorado.edu/appm/faculty/jdm/faq.html>. Tu je dan uvid i u određeni matematički aparat teorije kaosa, a data je i opsežna bibliografija i veliki broj daljnjih linkova.

Efekt leptirovih krila
Glavna poteškoća predviđanja dugoročnih budućih ponašanja kaotičnih sustava jest u velikoj osjetljivosti o početnim uvjetima. To je zapravo bit teorije kaosa, a znači da i najmanja razlika u početnim uvjetima dovodi do različitih konačnih rezultata. To je lijepo prikazao meteorolog Edward Lorenz, koje je prvi sustavno radio na teoriji kaosa. Lorenz je pokušavajući matematičkim simulacijama načiniti dugoročnu vremensku prognozu otkrio tzv. efekt leptirovih krila, odnosno "The Butterfly Effect" <http://www.eos.net/esse/butterflyeffect.html>. Ukratko, leptir mašući krilima danas u Pekingu, može time prouzročiti oluju slijedećeg mjeseca u New Yorku. Lorenzov je rad na matematičkom modeliranju kompleksnih putanja čestica zraka, (putanje su opisane sustavima linearnih diferencijalnih jednadžbi), kulminirao slavnom slikom koja se zove "Lorenz Attractor", a oblikom je slična leptirovim krilima <http://www.students.uiuc.edu:80/~ag-ho/chaos/lorenz3d.gif>.

Lorenz attractor


Naime, pod određenim uvjetima, gibanje čestica opisana su sustavom koja niti konvergiraju niti divergiraju, već su ograničena na određeno "kaotično" područje, odnosno svaki položaj čestice unutar tog područja jednako je vjerojatan. Kada se takav kaotični sustav reducira na nekoliko varijabli, te se iscrtaju na grafikonu, dobije se uzorak koji se zove "strange attractor". Može se reći da je atraktor grafička prezentacija nekog faznog prostora. Naime, dinamički se sustav sastoji od apstraktnog faznog prostora (odnosno "kolekcije" mogućih stanja dinamičkog sustava) čije koordinate opisuju dinamičko stanje sustava u bilo kojem trenutku, kao i dinamičko pravilo koje opisuje budući trend. Tako bi i čudno iskrivljena brodska elipsa iz Jurasic parka u stvari bila jedan atraktor. Na gore spomenutom poslužitelju mogu se naći i lijepi primjeri još nekih atraktora s mnogo dodatnih informacija o teoriji kaosa, i to sve bez mnogo matematike. Kako bi ovo gore navedeno bilo jasnije, posjetite adresu: <http://sprott.physics.wisc.edu/java/attract/attract.htm> te pogledajte neke čudne atraktore, naravno ukoliko vaš prebirnik podržava JAVU. Na istom poslužitelju možete pronaći i HTML inačicu izvrsne knjige J.C. Sprotta, Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos.

Izbori
Lijep primjer učinka leptirovih krila jesu izbori. Razlozi zbog kojih neka osoba glasuje za naku stranku vrlo su kompleksni. Svaki glas možda ima malo utjecaja na konačni ishod, ali jedan jedini glas ipak može (teorijski) dati prevlast jednoj stranci, odnosno koaliciji, koja će u konačnici utjecati na cjelokupnu politiku. Sjetite se toga kada slijeći put izađete na izbore! Naravno, mehanizmi izbornih sustava takve granicne slučajeve baš i ne dopuštaju. Ukoliko vas ta problematika zanima, znajte da je to predmet interesa mnogih običnih glasača ali i teoretičara širom svijeta. Tako je nedavno je i časopis Scientific American <http://www.sciam.com> donio napis o pravednijem sustavu za glasovanje, <http://www.sciam.com/askexpert/math.html#acs50>. Da taj napis nije prošao nezapažen u Hrvatskoj, dokazuje i to što mu se mirorr nalazi na na poslužitelju Socijaldemokratske partije Hrvatske <http://www.sdp.tel.hr/sdp/vote.html>.

Bifurkacije i teorija katastrofa
Specijalni vid teorije dinamičkih sustava jest teorija katastrofe, koju je postavio šezdesetih godina ovog stoljeća francuski matematičar Rene Thom. Ova pak teorija proučava fenomene karakterizirane iznenadnim promjenama ponašanja koje proizlaze od malenih promjena u okolnostima. Katastrofa jest dakle bifurkacija ("grananje") između dva različita ekvilibrija odnosno dva fiksna atraktora. Kompliciranije, ali znanstvenije rečeno, bifurkacija je kvalitativna promjena u dinamici zbog malenih varijacija parametara sustava. Kako izgleda bifurkacija pogledajte na: <http://tqd.advanced.org/3120/library.html> gdje ćete naći i BASIC program kojim je ta slika generirana. Još jedan lijep primjer s nešto pripadne matematike jest na: <http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/BD.html>. Glede teorije katastrofe i njene primjene, svakako vrijedi pogledati slikovni prikaz gravitacijskog stroja katastrofe na: <http://www2.excite.sfu.ca/pgm/scifair/alexei_polishchuk/comment.html> koji služi za ispitivanje stabilnosti teretnih brodova, sigurnosti mostova itd.

Primjena i primjeri kaotičnih sustava
Možda najbizarniji primjer jest "kaotični stoj za pranje rublja" <http://tqd.advanced.org/3120/text/washmach.htm>. Stroj ne samo da funkcionira, nego je i daleko učinkovitiji od klasičnih strojeva. Patentiran je, a izumitelji su se obogatili. Eksperimenti koji simuliraju kaos poslužili su i kao osnova za dizajniranje mnogih igračaka. To su prvenstveno razne vrste njihala koje se nalaze u polju nekog elektromagneta. Upute za izradu jednostavnog dvostrukog njihala koje će demonstrirati prekrasno kaotično gibanje nalaze se na: <http://www.ibm.com/Stretch/EOS/chaos.html< Onaj tko nema uradi-sam talenta, može se zadovoljiti i simulacijom dvostrukog njihala u JAVI, te vidjeti iscrtavanje pripadnog atraktora na adresi: <http://www.cs.mu.oz.au/~mkwan/pendulum/pendulum.html>. Još JAVA simulacija može se naći na: <http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Chaos_demos.html>. Ljubitelji glazbe pak na poslužitelju <http://membrane.com/chaos/> mogu pogledati, pa čak i poslušati (WAV format) kako teorija kaosa objašnjava utjecaj bluesa na modernu glazbu. Upravo izvrsna multimedijska prezentacija. Fizičari, ljubitelji kvantne mehanike i ostali ljubopitljivci mogu nešto naučiti o kvantnom kaosu na <http://sagar.cas.neu.edu/qchaos/qc.html>.

Financije
Možda ne i najzanimljiviji, ali svakako glede određenih šarenih papirića najpoticajniji primjer potencijalne uporabe teorije kaosa jest primjena teorije kaosa na polju financija. Vidjeli smo dakle, da u determinističkom sustavu kaos označava iregularne fluktuacije uslijed neke unutrašnje logike, visokoosjetljive na početne uvjete, a ne zbog slučajnih vanjskih sila (uzroka). Kako se burza može definirati kao dinamički sustav socioekonomskog ponašanja, nije čudo da su burzovni analitičari relativno lako dokazali da se burza ponaša kaotično. Nažalost, to je visokodimenzijski kaos s ogromnim brojem različitih varijabli, a burzovne transakcije nisu dovoljno dugo stacionarne kako bi se mogao identificirati pripadni kaotični atraktor. Dobar članak o kaotičnim tržištima može se naći na: <http://www.lloyd.com/~babcock/article4.html>. Glede kaosa i financija, ne zaboravite i da je kaos, ali onaj pravi, u Albaniji počeo slomom piramidalnog sustava financijskog inžinjeringa. Ukoliko dobro vladate matematikom, kao i samom teorijom kaosa, gotovo sigurno ćete pronaći neku financijsku ustanovu koja će podržati vaša istraživanja. No ako uspijete, ne očekujte da Vam dadu dio profita koji ste im ostvarili :-) ! Ukratko, svatko tko kaže da zna za primijeniti teoriju kaosa na burzovne transakcije, ne zna ništa korisno. Svatko tko zna nešto korisno, to, naravno, neće širiti dalje.

Da li je Internet kaotičan?
Za sada smo vidjeli da je Internet povezan s kaosom samo kroz ogroman broj informacija koje se o kaosu na Interentu mogu pronaći. Kaos je u većoj mjeri počeo zahvaćati kompjuterski svijet pojavom računalnih mreža. Računalni ekosustavi vrlo su slični biološkim ekosustavima (koji jesu podložni kaosu), a mogu se opisati karakteristikama kao što su broj programa koji se izvršavaju na mreži, obim poruka koje se šalju, frekvencija kojom se koriste različite rute, prosječni zastoj u odašiljanju informacija i povratnoj vezi. Sve te karakteristike utječu na odluke pojedinih korisnika, ali to najčešće prolazi nezapaženo. Svaki zahtjev za procesiranjem određenog zadatka koji se u vidu električnog impulsa šalje telefonskom mrežom, može usporiti komunikaciju između ostalih računala u mreži. Konkretno, ovisno o zagušenju mreže, rezultat potrage za nekom informacijom može se poprilično razlikovati. To pak može utjecati na neke odluke, koje pak...Interesantno jest da je kaotično ponašanje računalnih mreža anticipirano već kasnih osamdesetih godina. Da Internet, ta Mreža svih mreža, u smislu teorije kaosa definitivno jest kaotičan. O neorganizaciji se pak može razgovarati.

Fraktali
Teorija kaosa odnosi se dakle na određene uzorke (zakonitosti, obrasce). Kaotični je sustav posljedica mnogobrojnih ponavljanja određenih pravila, te se pri tome ponekad dobijaju vrlo pravilne strukture. Izuzetno ilustrativnu grafičku demonstraciju pogledajte na: <http://tqd.advanced.org/3120/fractal.html>. I što smo dobili? Fraktale, naravno.

Newton Fractal


Fraktal jest geometrijski oblik sličan samome sebi na različitim skalama (npr. snježna pahuljica ili oblaci). No to je samo jedna od definicija, moguće su i mnoge druge. znatno složenije. Za saznati više o fraktalima, treba svakako posjetiti Fraktal FAQ poslužitelj (<http://webpages.marshall.edu/~stepp/fractal-faq/faq.html>), koji je, iako ažuriran još 1995. godine, još uvijek pun informacija i linkova. Na adresi: <http://spanky.triumf.ca/> jest izuzetno zanimljiv poslužitelj s nevjerojatnom obiljem informacija, softvera koji se odnosi na fraktale (i kaos), te daljnjih linkova. Jedan od najnagrađivanijih i poslužitelja jest Sprott's Fractal Gallery na adresi: <http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htm>. Tu se može svaki dan pogledati I "fraktal dana", pa čak i poslušati "fraktalna" glazba (MIDI zapis). Softver za komponiranje fraktalne glazbe može se naći na <http://www-ks.rus.uni-stuttgart.de/people/schulz/fmusic/wtf/<, dok se više o fraktalnoj glazbi može naći na poslužitelju Fractal Music Project na adresi: <http://www-ks.rus.uni-stuttgart.de/people/schulz/fmusic/index.html>. Od softvera za generiranje fraktala svakako treba spomenuti neobično popularni FreeWare program Fractint. Trenutno se na mreži može pronaći inačica 19.5. U osnovi to je display engine u koji je uključen veliki broj različitih tipova fraktala kao doprinos ogromnog broja različitih autora. Dokumentacija je odlična, možete uključiti i svoje vlastite fraktale ili koristiti postojeće algoritme, a nastale slike se mogu spremiti u GIF formatu. Svakako razlog da koristite MS DOS prompt. Naime, Fractint je jedan od rijetkih programa za DOS, :). Postoje i Windows inačice, no one nisu toliko ažurne.

I na kraju
Teorija kaosa je jedna od najmlađih znanosti koja se iz obskurnih početaka sedamdesetih godina razvojem informatičke tehnologije danas vinula do možda najizazovnijih područja istraživanja. Širenje informacija i spoznaja o teoriji kaosa bez sumnje je omogućena Internetom. Ipak, Internet sa svojom (galopirajućom neorganiziranošću, usprkos Search Enginsima i katalozima tipa Yahoo) u tome smislu ipak nema veze s teorijom kaosa. No, pozabaviti se budućnošću samog Interneta, koristeći pristup teorije kaosa... već bi bio pravi izazov. Nepredvidljivost kaotičnih sustava uz Godelov teorem i kvantnu nesigurnost formuliranu Heisenbergovim relacijama neodređenosti, predstavljaju do sada neprevladana ograničenja u znanstvenim spoznajama dvadesetog stoljeća. Onaj tko napravi ključan napredak bit će slavan. I bogat.

Croatian Line

Last Update: 12 June 1997.

[http://mimi.imi.hr/~franic]

Webtechs Cougar Checked
Webtechs Cougar Checked!

However, please note there are some non SGML characters in text