Priča o čvorovima

This is the HTML version on my article published in NeT,1997;18/19:78-82.

Also available at:

NeT (Kolumna dr. Franića)

and

Hot Croatian Pages


Priča o čvorovima

Piše: Dr.sc. Zdenko Franić
franic@imi.hr

Tko bi pomislio da će čvorovi osim jedriličarima i ribarima i čipkaricama biti izuzetno interesantni matematičarima, fizičarima, dizajnerima i Internautima

Ozbiljnije bavljenje čvorovim dokumentirano je u događaju koji se zbio prije skoro 3000 godina. Poljoprivrednik Gordije, osnivač grada Gordiona i kasnije kralj maloazijske države Frigije, vrlo je zamršenim čvorom, koji će (koje li koincidencije) kasnije biti nazvan gordijskim čvorom http://www.gordian.com/companyinfo/legend.html vezivao volove u jaram na svojim kolima posvećenim bogu vrhovniku Zeusu. Proročanstvo je reklo da će onaj tko taj čvor razmrsi, postati gospodarem Azije. Njegovom sinu Midi to nije uspjelo, ali se on možda obogatio pokazujući turistima očev čvor, jer legenda kaže da se sve što je Mida dotaknuo pretvaralo u zlato. Nekoliko stotina godina kasnije (334. prije Krista) u hram u Gordionu u kojem se kao atrakcija čvor čuvao, naišao je Aleksandar Makedonski. Susret s čvorom mogao je Aleksandu prouzročiti stres, pa čak i čvor u želucu, koji može dovesti i do čira ili hernije http://www.mayo.ivi.com/ivi/mayo/9502/htm/knot_qa.html. No, kako u to doba klinika Mayo još nije djelovala, Aleksandar nije bio svjestan ozbiljnosti situacije, te je naprosto izvukao mač i presjekao čvor. Nije poznato kako su na tako neprofesionalno razvezivanje legendarnog čvora reagirali antički preteče Međunarodne cehovske udruge vezivatelja čvorova (International Guild of Knot Tyers) http://www.webshirt.com/IGKT.html, koja za cilj ima promoviranje proučavanja, znanosti, umjetnosti i prakse vezivanja čvorova te svega ostalog u svezi čvorova. Ipak, Aleksandar je riješio zamršeni zadatak, te je postao gospodar tadašnjeg poznatog svijeta pronijevši antičku kulturu sve do Indije. Kasnije je osnovao Aleksandriju, tadašnje najveće urbano središte i čuvenu knjižnicu i tako postao vjerojatno prvi Yuppy. U aleksandrijskoj knjižnici, http://www.byu.edu/acd1/ed/InSci/286/Egypt/AlexandriaLibrary.html vjerojatno se moglo naći i štošta o čvorovima i Aleksandrovom podvigu, ali ona je nažalost izgorila.

Teorija čvorova
Tko zna kojim bi putem krenula povijest da je siroti Aleksandar bio svjestan kompliciranosti teorije čvorova i neadekvatnosti algoritma kojeg je on primijenio za razvezivanje slavnog čvora. I tako se matematička teorija čvorova razvila tek u 19. stoljeću, a izuzetno je napredovala u posljednjih desetak godina. Jedno od najuzbudljivijih otkrića svakako jest povezanost teorije čvorova i grane fizike koja proučava fundamentalne sile i elementarne čestice od kojih je izgrađen Svemir (string theory) http://www.weburbia.com/pg/knots.html. Iako fizičarima još štošta nije jasno niti u klasičnoj teoriji gravitacije, već su se počeli baviti i kvantnom teorijom gravitacije, možda najtežom zagonetkom cjelokupne znanosti. Naravno, u taj "sveti Gral" moderne znanosti učvorena je i teorija čvorova http://www.weburbia.com/pg/qugrav.html i http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9410018. Čvorovi izgleda imaju važnu ulogu i u molekularnoj biologiji, a i sama dezoksiribonukleinska kiselina (DNA) ponekad može biti učvorena http://www.sb.fsu.edu/mob/people/sumners.html. Za matematičare čvorovi su zatvorene krivulje ili "staze" koje se mogu slijediti prstom ili vrškom olovke. Njima je čvor matematički objekt, baš kao i broj , http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knbkgd.html. Matematičari dakle i za čvorove postavljaju slična pitanja, npr. jesu li dva čvora jednaka. Postoji tako i nulti čvor (svaki onaj čvor koji nastaje kada se spoje krajevi konopa, bez uvijanja ili zakretanja), postoje i prosti čvorovi (baš kao i prosti brojevi, tj. oni koji su djeljivi sami sa sobom). No zanimljivo pitanje jest postoje li i negativni čvorovi? To bi bilo sjajno; nešto vam se zapetlja čvorom Č (npr. parangal ili vezice na cipelama). Umjesto otpetljavanja, vi problem riješite teorijski, nakon čega dodate negativni čvor -Č i sve je u redu, jer, dobili ste nulti čvor...Očito je dakle da postoji algebra čvorova. To su uostalom još davno prije otkrili i stare Inke.

Knot

Quipu, Inke i algebra čvorova
Quipu jest neka vrsta uzlovnog "pisma" kojim su se koristile Inke u Peruu. Služilo je u računske svrhe, kao mnemotehničko sredstvo, te za registriranje različitih događaja i podataka http://www.cs.uidaho.edu/~casey931/seminar/quipu.html. O glavni konopac vezivali su se manji konopčići različitih boja, od kojih je svaki imao svoje značenje http://fee.unicamp.br/~jorge/quipu.html. Čvorovi na pojedinim konopčićima su pak označavali količinu. Ti stari Peruanci zaista su bili kontroverzni: imali su ceste, a nisu znali za kotač, nisu imali pismo, a imali su zapise. Živjeli su u planinama, a prema teoriji norveškog etnologa Thora Heyerdahla, neki su od njih naselili Polinezijske otoke. Heyerdahl je da bi to dokazao, prije točno pedeset godina (1947), organizirao transpacifičku znanstvenu ekspediciju od obala Perua do istočne Polinezije http://www.nrk.no/undervisning/heyerdahl/slide01m.html. Prije toga morao je dobrano savladati umjetnost vezanja čvorova. Naime, on i njegova ekipa sagradili su splav Kon Tiki, načinjenu od laganog balzinog drveta vezanog konopima, dakle bez uporabe čavala, kojom su se otisnuli od obale Južne Amerike i otplovili u povijest.

"Brzinski čvorovi"
Splav Kon Tiki nošena strujama i vjetrovima dnevno je prevaljivala šezdesetak nautičkih milja, odnosno, brzina joj je bila oko 2.5 čvorova. Da, čvor je i jedinica za brzinu koja se posebice rabi u zrakoplovstvu i nautici, a potječe iz vremena kada se brzina broda mjerila dužinom isteklog konopca; više pogledajte na: http://www.ocean.washington.edu/education/magic/Ipage/happened/10/knots.html. Konopac na čijem je kraju bila poprečno vezena daščicu, puštan je u more odmotavajući se s vitla, i to u vremenu od 30 sekundi (1/120 sata) mjerenog pješćanim satom. Sprava se zvala log. Razmaci na konopcu iznosili su 15.43m, te su bili su odijeljeni (pomorskim) čvorovima: prvi razmak jedan čvor, drugi dva čvora itd. Kako se došlo do te dužine? Naime, nautička milja jednaka je jednoj lučnoj minuti opsega Zemlje (40000 km). Dakle, 1Nm iznosi 40000:(360X60)=1.852km. Sto dvadeseti dio milje iznosi upravo 15.43m. Nakon 30 sekundi, konopac se izvukao natrag na brod i broj čvorova na njemu daje brzinu broda u čvorovima, odnosno Nmh-1. Dosjetljivo zar ne? (Anglosaksonci su, zbog "svojih stopa", isti proces upražnjavali 28 sekundi, a razmak među čvorovima na konopu bio je 14.4m). I tako je pomorski čvor koji je zaista nekada i bio čvor postao mjera za brzinu (ili točnije za brojanje čvorova na konopcu). Brzina, vrijeme i pozicija broda upisivala se u knjigu koja se zvala log book (knjiga zabilješki, tj. brodski dnevnik). Danas to log znači zabilježiti neku radnju. Ne podsjeća li vas to na login, logfile etc...

Pomorski čvorovi
Područje ljudske djelatnosti u kojem su se čvorovi ponajviše rabili jest vjerojatno pomorstvo, naročito u doba jedrenjaka kada je na brodovima sve vrvilo od konopa. No, u našoj terminologiji tada govorimo o uzlovima; čvorovi su tek jedna podvrsta uzlova, dok su ostale npr. vojevi, pašnjaci, grljci, kučevi, zapori, rasponice, upletke, pletiva, opleti, itd. Svaka od tih podvrsta sadrži na stotine, možda i tisuće, različitih uzlova, na koje se postavljaju mnogi uvjeti, ovisno o namjeni. Svakako, najvažniji uvjeti jesu jednostavnost vezivanja i sigurnost, a za neke uzlove i mogućnost brzog odrješivanja. O vještini vezivanja često je ovisila, a i danas u doba rekreativne nautike i "vikend kapetana", ovisi sigurnost broda i posade. Mnogo je života izgubljeno nestručnim vezivanjem uzlova, ili uporabom nekog uzla za pogrešnu namjenu. Npr., vrlo rašireni muški uzao (square knot, ili reef knot) http://huizen.dds.nl/~erpprs/kne/reefk.html jedan je od najsigurnijih (osobito kada se stegne i smoči) spojnih uzlova koji služe za nadovezivanje konopa. No, ukoliko su ti konopi različitih promjera ili tvrdoće lako se razveže! Primjeri uzlova koji se koriste u pomorstvu, mogu se naći na zaista mnogim mjestima na Mreži. Nipošto nemojte propustiti izvrsne animirane gifove na adresi: http://www.tcmall.com/nauticalknowhow/boating/7_1.htm#knots.

Bowline

Ribarski i drugi čvorovi
Vrlo slični pomorskim čvorovima jesu ribarski. I njih ima sva sila, a rabe se za vezivanje udica, najlona i mreža, pogledajte adrese http://www.ao.net/~nautbob/fishknot.html, http://www.ozemail.com.au/~fnq/fishing/index.html i http://www.flyfield.com/knots2.html. Međutim u obitelj ribarskih čvorova spada (koje li inventivnosti) i ribarski čvor, http://www.lehighgroup.com/KNOTS.Html, koji je vjerojatno najčvršći način za spajanje finih niti. Lagano se veže, ali izuzetno teško odvezuje. Čvorovi se još koriste u planinarstvu http://homepages.iol.ie/~daveh/knots.html, speleologiji, http://rschp2.anu.edu.au:8080/cave/knot.html na farmama, kirurgiji (za podvezivanje i šivanje rana.) itd. Kirurški je čvor http://home.ican.net/~rlundy/Surgeon.html tako popularan da se koristi i u mnogim drugim djelatnostima. Nažalost, čvorovi su povezani i sa samoubojstvima, te izvršenjem smrtne kazne vješanjem. Po čvoru koji se pri tome koristi, nazvan je i čitav filmski žanr: Hangman's knot http://www.roughcut.com/rewind/genrenov2.html. U čvorove se vežu i konjski repovi, pravi foto-strip pogledajte na http://www.al-andalus.com/knot2.html. Valja spomenuti i čvoričanje (knotting) http://204.30.30.10/hac/knots/, te izradu tepiha, čija se finoća (i cijena!) određuje količinom čvorova po kvadratnom centimetru. Tu su i čipke, iako se neke ne samo čvoričaju, već i šivaju kao čuvena paška čipka, biser sredozemnog tekstilnog rukotvorstva http://bagan.srce.hr/etno/tcipka/etnoc.html. U mokrome čvoru ljudi provode znatno vrijeme, a vjerovali ili ne, čvorovi se mogu i patentirati. Tako je u SAD u razdoblju od 1976. do 1997. godine patentirano 336 patenata koji imaju neku vezu s čvorovima. (Naravno i ti se patenti mogu naći na Internetu!). Tako je patentirana i nova vrsta čvora koji se koristi u kirurgiji, sprava za vezanje čvorova na balonima... Budite oprezni i kada vezujete tenisice, možda će vas netko tužiti za kršenje patentnih prava!

Möbiusova ploha
Vratimo se još malo teoriji čvorova. Kao što je spomenuto, najjednostavniji čvor jest nulti čvor, odnosno zatvorena krivulja, kakva je npr. kružnica. Takav je isprva čvor i Möbiusova plohu (Möbius band), nazvana po njemačkom matematičaru Möbiusu. To je ploha koja nastaje spajanjem dvaju nasuprotnih stranica pravokutnika, ali tako da suprotni vrhovi padnu zajedno. Pravokutni list papira prije savijanja u Möbiusovu plohu ima dvije strane, a poslije savijanja samo jednu. Druga interesantna osobina jest da se Möbiusova ploha, razreže li se uzduž, ne raspada na dva dijela nego i dalje čini cjelinu. Na: http://server2.greatlakes.k12.mi.us/UNITEResource/810013077-81ED7D4C.rsrc nalazi se PDF dokument s detaljnim objašnjenjem Möbiusove plohe i neobično jednostavne, ali sjajne demostracije koju možete upriličiti prijateljima ili ukućanima. (Mala digresija: ukoliko nemate ili ne želite instalirati Adobe Acrobar Reader, na http://www.adobe.com/prodindex/acrobat/advform.html nalazi se formular u koji se upiše adresa PDF dokumenta koji se želi konvertirati u HTML dokument. Provjereno je, radi izvanredno. Na žalost, slike se (za sada) ne konvertiraju.) Potrebne su vam samo škare, malo papira i "mušterije" koje će se opkladiti da ćete nakon rezanja (ta to je "svima očito") dobiti dvije trake. Nije li vam fenomen Möbiusove plohe poznati motiv "prostorno-vremenske petlje" iz mnogih SF priča? Na adresi: http://www.geom.umn.edu/graphics/pix/Special_Topics/Differential_Geometry/moebius_strip.html nalazi se još jedan prikaz Möbiusove plohe, a na http://www.softlogic.com/pp/torus.html prikazana je jedna od varijacija (razrada po fazama s pripadnim jednadžbama). Ukoliko pak razrežete traku nastalu rezrezivanjem Möbiusove plohe, ovog puta rezultat će biti dvije povezane trake, odnosno: link.

Linkovi
Link :)) veza, spona, sveza ili karika nije ništa drugo nego čvor u čvoru. Odnekud poznato? Spajanjem na Internet računalo postaje čvor (istina node, a ne knot, razliku pogledajte na http://www.onelook.com). Hipertekstualni medij kakav je WWW obično sadrži veliki broj linkova, tih potcrtanih (ili nekim drugim načinom označenih) riječi ili slika. Svaki takav link veza je s dokumentima na drugim računalima-čvorovima. Upravo su linkovi ono što WWW čini Mrežom. Kod konopaca, da bi se linkovi "razbili" u posebne čvorove, potreban je radikalni zahvat: rezanje. Kod Interneta to ide mnogo spontanije, koliko li ste samo puta naletili na "mrtav" link. No, i tome ima lijeka. Posjetite http://www.biggbyte.com gdje ćete nači izuzetno dobar Link Checker koji je uz to i freeware! Evo i jedne sjajne adrese s ogromnim brojem linkova na resurse o čvorovima: http://www.earlham.edu/suber/knotlink.html.

Link

Trolisni čvor
Trolisni čvor (trifoil) nazvan je tako zato što ima tri petlje (tre je povezan s three tj. 3, a foil jest list). I zaista, trolisni je čvor sličan listu djeteline (naravne, ne one sretne s četiri ili više listova). Trolisni čvor može se načiniti na dva načina (lijevi i desni). Nemoguće je bez rezanja od lijevog oblika trolisnog čvora načiniti desni, što je uspješno i matematički dokazano. Za ostale vrste čvorova, sličan je dokaz prekompliciran. Pravu pravcatu 3-D eksurziju kroz unutrašnjost trolisnog čvora (MPEG) naći ćete na http://es.rice.edu/projects/ravl/arch640/showcase.html. Trolist su uzeli i stručnjaci koji se bave zračenjem za simbol upozoravajućeg znaka za zračenje, po jedan list za alfa, beta i gama komponentu. Ostale teorije o postanku tog znaka pogledajte na http://www.sph.umich.edu/group/eih/UMSCHPS/symbols.html. (Posebno je zgodno povezivanje zračenja s japanskom ratnom zastavom!) Naši, domaći zaštitari logotip svog udruženja upleli su pleterom učvorenim u čvor. No, o tome malo kasnije.

Trifoil Knot

Usenet
Ako ste pomislli da ljudi na UseNetu ne raspravljaju o čvorovima, grdno ste se prevarili, trežena newsgrupa jest: news:rec.crafts.knots. Ukoliko ste zainteresirani, do nje možete doći preko Dejanews, http://www.dejanews.com, budući na CARNetu ove grupe nema. Često postavljana pitanja (FAQ) spomenute grupe naći ćete na http://www.msen.com/~pwmeek/knots/knot-faq.html. Malo ambiciozniji sudionici čvoraste grupe nedavno su startali projekt međunarodnog rječnika nazivlja čvorova. Ispod svake slike nanizana su imena na desecima različitih jezika. Priložen je i formular kojim se može poslati ime čvora s naznakom pripadnog jezika. Nažalost, hrvatsko nazivlje za sada nije zastupljeno. Čvoroljupci, što čekate? Adresa jest http://www.korpegard.nu/jan/knots.html. Glosarij čvorova i svega vezanog uz čvorove naći ćete i na vrlo nagrađivanom Ropers Knots Page na adresi http://huizen.dds.nl/~erpprs/kne/kroot.html.

Umjetnički čvorovi
Računalno ostvareni čvorovi, poput fraktalnih slika, mogu biti prelijepi. Neki primjeri vrijedni divljenja nalaze se na: http://www.sover.net/~tlongtin/knots/knots.html. Na adresi: http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html jest pak baza podataka s preko 1000 raznih čvorova ostvarenih programom KnotPlot. Evo lijepih grafika za one koji imaju printere u boji. Zbog svoje ljepote i posebnosti, naročito su interesantni keltski čvorovi koji su ukrašavali ranokršćanske rukopise. Svakako posjetite http://www.abbott.demon.co.uk/knots.html kao ihttp://celtic.stanford.edu/clipart.html gdje ćete naći primjere keltskih čvorova. Na adresi http://homepage.interaccess.com/~dfroula/steve/knots.html čak je i softver za crtanje keltskih čvorova.

Kravate
Tko još ne zna da kravata potječe od Hrvata? No, dalo bi se raspravljati da li je kravata, u 17. stoljeću, za vrijeme velikog tridesetogodišnjeg rata (1618 - 1648), koji je tada harao Europom bila znak zapadnoeuropske uljudbe ili naprosto upijalo za znoj, posebnim čvorom vezano oko vratova hrvatskih vojnika. Oni su, boreći se pod tuđim zastavama širom ondašnje Europe, stigli i do Pariza. Široke vratne marame na stasitim hrvatskim momcima dopale su se parižankama, te su ljubomorni parižani smjesta prihvatili taj novi modni detalj "a la Croate". Ostalo je povijest, koja je u Hrvatskoj zabilježena početkom 1995. godine i na filatelističkim markama http://www.math.hr/stamps/1995/kravata.html. Hrvati su tako kravatama, odnosno nenasilnim metodama pokorili cijeli civilizirani svijet, više nego Cezar, Đingis Kan i Aleksandar Makedonski zajedno. Prekrasan esej o podrijetlu kravate, autora Barry S. Marjanovicha, svojedobno upućen i u grupe soc.culture.croatia i soc.culture.europe, možete naći, a gdje drugdje nego na stranicama Željka Lupića :)) http://www.dalmatia.net/croatia/history/cravat/. Ljudi širom svijeta nose simbol moga naroda. Nose ga blizu srca, između košulje i odijela. Štoviše, on ih grli oko vrata poput dragog prijatelja. Tu je i odlican clanak o kravati Domagoja Polegubica iz Australije na: http://www.dalmatia.net/croatia/history/cravat/tie/origintie.htm. Iako danas živimo u doba Interneta, neki ljudi još uvijek moraju nositi kravate (možda glede video-konferencija). Štoviše, svako odijelo zahtijeva posebnu kravatu, pa čak i poseban čvor koji je i sam postao modni detalj. I baš je vezanje čvorova na kravatama mnogima prava muka. Naravno on-line pomoć s pravim bogatstvom različitih čvorova za kravate može se naći na mnogim adresama na Internetu npr. http://www.fashionmall.com/media/mr/doc/all3.html, http://www.bizweb.com/tie/ i http://members.aol.com/mbastyle/web/necktie.html. Izgleda da je čvor imena Windsor trenutno najmoderniji (ili možda najteži za vezanje). I na koncu, ukoliko surfate Internetom u potrazi za kravatama, posjetite i http://www.galstar.com/%7Eapparel, možda ćete biti nagrađeni - kravatom.

Čvorovi na Internetu kod Hrvata
Ono što su keltski čvorovi za Irce, za Hrvate jest pleter http://www.st.carnet.hr/os-pujanki/ptica.html. Pleterna ornamentika naziv je za sustav reljefne dekoracije kod koje su osnovni elementi od jednostavnog uzla preko pleternice do kompliciranih motiva mreža. Prevladava u predromaničkoj arhitekturi u razdoblju od 8 do 11. stoljeća. Najjača središta bila su gornja Italija i Hrvatska, naročito u svom jadranskom pojasu, u kojoj su tako, poput Božjih poljubaca, razasute brojne predromaničke i romaničke crkvice. Pleternoj ornamentici prethodila je pojava pletera u antičkoj, a posebice bizantskoj dekoraciji. Motivi pletera se tako mogu naći i kao ures mnogih Web stranica u Hrvata. Isto tako pleter se pojavljuje u hrvatskim povijesnim, ali i suvremenim zastavama i grbovima, pogledajte na: http://jagor.srce.hr/~zheimer/flags/descr/index.html. Nadalje, odore hrvatskih vojnika i činovi, http://tomislav.morh.hr/MORH/Pages/visoki_cinovi.html, sadrže u službenim oznakama hrvatski pleter i druge simbole, koji karakteriziraju kako hrvatsku kulturu, tako i kulturnu estetiku odijevanja. Od hrvatskih čvorova, još je zanimljiv učvoreni pleter u logotipu Hrvatskog društva za zaštitu od zračenja http://mimi.imi.hr/crpa, koji tako povezuje starohrvatsku kulturnu tradiciju s visokom tehnologijom.

I na kraju rasplet sa zapletom
U rasplitanju ove čvoraste teme, ponekad su miješane jabuke i kruške. Naime riječ čvor pokriva zaista široki spektar pojmova i značenja, pa je u gornjem tekstu bilo ponekad i namjernog igranja riječima. O interesu internetovske populacije za čvorove svjedoči i oko 190 naslova knjiga o čvorovima koje se mogu nabaviti preko Interneta (http://www.amazon.com), te deseci tisuća povratnih informacija koje su dale popularne tražilice AltaVista i HotBot za riječ knot. Nije niti čudo: dobar čvor katkada znači spas. Nadajući se da ste se zainteresirali za ovu neobičnu problematiku evo spektakularnog raspetljavanja čvora (trikom naravno), kojim možete, kao i Möbiusovom plohom, zadiviti ili u nagorem slučaju samo zabaviti Vaše društvo: http://www.geom.umn.edu/~strauss/knots/. A oni zaljubljeni, mogu posjetiti Let's Get Married! homepage na http://www.nadtech.com/wedding.html, te zavezati svoj virtualni čvor u cyberspace-u.

Croatian Line

Last Update: 9 July 1999

[http://mimi.imi.hr/~franic]

Webtechs Cougar Checked
Webtechs Cougar Checked!

However, please note there are some non SGML characters in text